Question

登月飞行器关闭发动机后在离月球表面h的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是T．已知月球半径是R．（1）试推

登月飞行器关闭发动机后在离月球表面h的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是T．已知月球半径是R．（1）试推导出月球质量的表达式；（2）试推导出月球平均密度的表达式；（3）若已知登月飞行器离月球表面h=112km，周期是T=120.5min，月球半径是R=1740km，根据数据估算月球的质量和月球的平均密度．（G=6.67×10-11Nm2/kg2，结果保留一位有效数字）

Answer 1

（1）令月球的质量为M，飞行器的质量为m，则根据万有引力提供圆周运动向心力有：
G

mM

(R+h)2

＝m(R+h)

4π2

T2

可得月球的质量M=

4π2(R+h)3

GT2

（2）月球的体积V=

4

3

πR3
所以月球的密度ρ＝

M

V

＝

4π2(R+h)3 GT2

4 3 πR3

=

3π(R+h)3

GT2R3

（3）代入数据可得月球的质量
M=

4π2(R+h)3

GT2

=

4×3.142×[(1740+112)×103]3

6.67×10?11×(120.5×60)2

kg=7×10²²kg
月球的密度
ρ=

3π(R+h)3

GT2R3

=

3×3.14×[(1740+112)×103]3

6.67×10?11×(120.5×60)2×(1740×103)3

kg/m³=3×10³kg/m³
答：（1）月球质量的表达式：M=

4π2(R+h)3

GT2

；（2）月球密度的表达式ρ=

3π(R+h)3

GT2R3

；（3）月球的质量M=7×10²²kg，月球的密