Question

判断函数f（x）=1x2?1在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明

判断函数f（x）=1x2?1在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明．

Answer 1

函数f（x）=

1

x2?1

在区间（1，+∞）上的单调递减，证明如下：
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）
=

1

x12?1

-

1

x22?1

=

x22?x12

(x12?1)(x22?1)

=

(x2?x1)(x2+x1)

(x12?1)(x22?1)

，
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
又∵x₁，x₂∈（1，+∞），
∴x₂+x₁＞0，x12?1＞0，x22?1＞0，
∴

(x2?x1)(x2+x1)

(x12?1)(x22?1)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
由单调性的定义可知函数在区间（1，+∞）上的单调递减．