Question

一次数学考试共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．设计试卷时，安排

一次数学考试共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．设计试卷时，安排前n道题使考生都能得出正确答案，安排8-n道题，每题得出正确答案的概率为12，安排最后两道题，每题得出正确答案的概率为14，且每题答对与否相互独立，同时规定：每题选对得5分，不选或选错得0分．（1）当n=6时，①分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率；②问：考生答对几道题的概率最大，并求出最大值；（2）要使考生所得分数的期望不小于40分，求n的最小值．

Answer 1

（1）①当n=6时，10道题全答对，即后四道题全答对的相互独立事件同时发生，
10道题题全答对的概率为

1

2

×

1

2

×

1

4

×

1

4

＝

1

64

，
答对8道题的概率为

1

2

?

1

2

?

3

4

?

3

4

+

1

2

?

1

2

?

1

4

?

1

4

+4?

1

2

?

1

2

?

1

4

?

3

4

=

22

64

=

11

32

，
②答对题的个数X的可能值为6，7，8，9，10，其概率分别为：
P（X=6）=

1

2

?

1

2

?

3

4

?

3

4

=

9

64

；P（X=7）=2?

1

2

?

1

2

?

3

4

?

3

4

+2?

1

2

?

1

2

?

1

4

?

3

4

=

24

64

=

3

8

；
P（X=8）=

22

64

=

11

32

；又P（X=9）=1-

9

64

?

24

64

?

22

64

-

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