Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，并且满足a 1 =2，na n+1 =S n +n（n+1），（1）求{a n }的通项公式；（2

已知数列{a n }的前n项和为S n ，并且满足a 1 =2，na n+1 =S n +n（n+1），（1）求{a n }的通项公式；（2）令 T n =( 4 5 ) n S n ，问是否存在正整数m，对一切正整数n，总有T n ≤T m ，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）令n=1，由a 1 =2及na n+1 =S n +n（n+1）① 得a 2 =4，故a 2 -a 1 =2，当n≥2时，有（n-1）a n =S n-1 +n（n-1）② ①-②得：na n+1 -（n-1）a n =a n +2n 整理得，a n+1 -a n =2（n≥2） 当n=1时，a 2 -a 1 =2， 所以数列{a n }是以2为首项，以2为公差的等差数列， 故a n =2n…（6分） （2）由（1）得S n =n（n+1）， 所以 T n =( 4 5 ) n S n =( 4 5 ) n ( n 2 +n) ． 故 T n-1 =( 4 5 ) n-1 [(n-1 ) 2 +(n-1)]， T n+1 =( 4 5 ) n+1 [(n+1 ) 2 +(n+1)] ， 令 T n ≥ T n-1 T n ≥ T n+1 ，即 ( 4 5 ) n ( n 2 +n)≥( 4 5 ) n-1 [(n-1 ) 2 +(n-1)] ( 4 5 ) n ( n 2 +n)≥( 4 5 ) n+1 [(n+1 ) 2 +(n+1)] 解得8≤n≤9． 故T 1 ＜T 2 ＜…＜T 8 =T 9 ＞T 10 ＞T 11 ＞… 故存在正整数m对一切正整数n， 总有T n ≤T m ，此时m=8或m=9…..（13分）