Question

短半轴长为3的椭圆的一个焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为（　　）A．1213B．513C．45

短半轴长为3的椭圆的一个焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为（　　）A．1213B．513C．45D．35

Answer 1

不妨设椭圆的焦点在x轴上，并以椭圆的左焦点为例．设椭圆的长轴的左顶点为A，右定点为B，左焦点为F1．
（1）若题目所述的长轴顶点为左定点A，则依题意有|AF1|=|OA|-|OF1|=9，而|OA|即为椭圆的长半轴长a，|OF1|即为椭圆的半焦距长c，则有a-c=9①；又已知b=3，且有a²=b²+c²②，将b=3代入②，有a²=3²+c²，即（a+c）（a-c）=9，将①代入得a+c=1③，联解①、③，可得a=5，c=-4，显然不合题意，故舍去，即情况（1）不成立；
（2）若题目所述的长轴顶点为左定点B，则依题意有|NF1|=|OB|+|OF1|=9，而|OB|即为椭圆的长半轴长a，|OF1|即为椭圆的半焦距长c，则有a+c=9①；又已知b=3，且有a²=b²+c²②，同（1）中解法解得a=5，c=4，显然合题意．
依离心率的定义有e=

c

a

=

4

5

，故选择C．