Question

已知函数f（x）=x 3 -4x 2 +5x-4．（1）求曲线f（x）在x=2处的切线方程；（2）求经过点A（2，-2）的曲线f

已知函数f（x）=x 3 -4x 2 +5x-4．（1）求曲线f（x）在x=2处的切线方程；（2）求经过点A（2，-2）的曲线f（x）的切线方程．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x 3 -4x 2 +5x-4， ∴f′（x）=3x 2 -8x+5， 根据导数的几何意义，则曲线f（x）在x=2处的切线的斜率为f′（2）=1， 又切点坐标为（2，-2）， 由点斜式可得切线方程为y-（-2）=1×（x-2），即x-y-4=0， ∴求曲线f（x）在x=2处的切线方程为x-y-4=0； （2）设切点坐标为P（a，a 3 -4a 2 +5a-4）， 由（1）可知，f′（x）=3x 2 -8x+5， 则切线的斜率为f′（a）=3a 2 -8a+5， 由点斜式可得切线方程为y-（a 3 -4a 2 +5a-4）=（3a 2 -8a+5）（x-a），① 又根据已知，切线方程过点A（2，-2）， ∴-2-（a 3 -4a 2 +5a-4）=（3a 2 -8a+5）（2-a），即a 3 -5a 2 +8a-4=0， ∴（a-1）（a 2 -4a+4）=0，即（a-1）（a-2） 2 =0， 解得a=1或a=2， 将a=1和a=2代入①可得，切线方程为y+2=0或x-y-4=0， 故经过点A（2，-2）的曲线f（x）的切线方程为y+2=0或x-y-4=0．