Question

已知定义域为x∈[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；  ...

已知定义域为x∈[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； ②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的最大值；（3）若对于任意x∈[0，1]，总有a＞[f（x）]2+f（x）+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）
∴f（1+0）≥f（1）+f（0），
∴f（0）≤0，
∵f（0）≥0，
故f（0）=0．
（2）∵0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
故有f（x₁）≤f（x₂）．
∴f（x）在[0，1]内是增函数，
于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1
因此，当x=1时，f（x）有最大值为1；
（3）令t=f（x）∈[0，1]，则
∵f（x）在[0，1]内是增函数，
∴y=[f（x）]²+f（x）+1=t²+t+1在[0，1]内是增函数，
∴x∈[0，1]，y_max=3，
∵对于任意x∈[0，1]，总有a＞[f（x）]²+f（x）+1恒成立，
∴a＞3．