Question

函数f（x）=x2-2x+2在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．（1）求g（t）的函数表达式；（2）作

函数f（x）=x2-2x+2在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．（1）求g（t）的函数表达式；（2）作g（t）的简图并写出g（t）的最小值．

Answer 1

（1）据题意可知函数为二次函数且开口向上，所以函数有最小值，即当x=-

b

2a

=

2

2

=1，f_min=1
分情况讨论函数在闭区间[t，t+1]（t∈R）：
①当闭区间[t，t+1]（t∈R）?（-∞，1）即t＜0时，得：二次函数在x=t+1时取到最小值，
∴g（t）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1；
②当1∈[t，t+1]即0≤t≤1时，得x=1时，二次函数取到最小值∴g（t）=1；
③当闭区间[t，t+1]?（1，+∞）即t＞1时，得：x=t时，二次函数取到最小值∴g（t）=t²-2t+2．

综上

g(t)＝t2+1    (t＜0) g(t)＝1            (0≤t≤1) g(t)＝t2?2t+2     (t＞1)

（2）由（1）可知g（t）为分段函数作出图象如下：

从图象上可知g（t）_min=1．

Answer 2

为什么？X=t，或X=t十|