Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．（1

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．（1）求证：CE∥平面A1BD；（2）若H为A1B上的动点，CH与平面A1AB所成的最大角的正切值为152，求侧棱AA1的长．

Answer 1

（1）证明：延长A₁D交AC的延长线于点F，连接BF．
∵CD∥AA₁，且CD=

1

2

AA₁，
∴C为AF的中点．
∵E为AB的中点，
∴CE∥BF．
∵BF?平面A₁BD，CE?平面A₁BD，
∴CE∥平面A₁BD．
（2）解：∵AA₁⊥面ABCCE?面ABC，∴AA₁⊥CE
又△ABC等边，E是中点，
∴CE⊥AB，CE＝

3

2

AB＝

3

∴CE⊥面AA₁B，连接EH，则∠EHC为CH与平面AA₁B所成的角．
在Rt△CEH中，tan∠EHC＝

CE

EH

＝

3

EH

，
∴EH最短时∠EHC最大
此时，EH⊥A₁B，
∴tan∠EHC＝

CE

EH

＝

3

EH

＝

15

2

，∴EH＝

2 5

5

由平几相似关系得AA₁=4．