Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F分别是AD，PC的中点（

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F分别是AD，PC的中点（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP所成二面角的大小．

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Answer 1

解：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F分别是AD，PC的中点 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P（0，0，2），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2 ，0），D（0，2 ，0），E（0， ，0），F（1， ，1） （I）由题意得 =（2，2 ，﹣2）， =（﹣2， ，0）， =（﹣1， ，1）， ∵ · =﹣4+4+0=0， · =﹣2+4-2=0 ∴ ⊥ ， ⊥ ∴PC⊥BF，PC⊥EF， 又∵BF∩EF=F， ∴PC⊥平面BEF （II）由已知可得向量 =（0，2 ，0）是平面BAP的一个法向量 由（I）得向量 =（2，2 ，﹣2）是平面BEF的一个法向量 设平面BEF与平面BAP所成二面角的大小为θ 则cosθ= = 则θ=45° 即平面BEF与平面BAP所成二面角为45°