Question

（2014?翔安区质检）如图，已知菱形AOBD的A、B、D三点在⊙O上，延长BO至点P，交⊙O于点C，且BP=3OB．求证

（2014?翔安区质检）如图，已知菱形AOBD的A、B、D三点在⊙O上，延长BO至点P，交⊙O于点C，且BP=3OB．求证：AP是⊙O的切线．

Answer 1

证明：连接OD、AO，如图，
∵四边形AOBD为菱形，
∴AO=OB=BD=DA，
∴△OAD和△OBD都为等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
∴∠AOP=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，
∵PB=3BO，OC=OB，
∴CP=OC=AC，
∴∠P=∠CAP，
∵∠P+∠CAP=∠ACO=60°，
∴∠CAP=30°，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴AP为⊙O的切线．