已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，P
已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN．（1）如图1，求证：...
已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN．（1）如图1，求证：PC=AN；（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．
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（1）证明：证法一：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB MN⊥AC，
∴∠PQA=∠ANM=90°，
∴AQ=MN，
∴△AQP≌△MNA（ASA）
∵AN=PQ AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分线的性质），
∴PC=AN；
证法二：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°=∠ANM
∵AQ=MN，
∴△PQA≌△ANM（ASA）
∴AP=AM，PQ=AN，
∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°，
∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∵∠APM=∠BPC，
∴∠QPB=∠BPC
∵∠BQP=∠BCP=90°，BP=BP
∴△BPQ≌△BPC（AAS）
∴PQ=PC，
∴PC=AN．
（2）解：解法一：
如图②，∵NP=2 PC=3，
∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5 AC=8，
∴AM=AP=5
∴AQ=MN=
=4
∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°
∴∠ABC=∠MAN
∴tan∠ABC=tan∠MAN=
=
∵tan∠ABC=
，
∴BC=6
∵NE∥KC，
∴∠PEN=∠PKC，
又∵∠ENP=∠KCP
∴△PNE∽△PCK，
∴
=
，
∵CK：CF=2：3，
设CK=2k，则CF=3k
∴
=
，NE=
k．
过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形
∴NE=TF=
k，
∴CT=CF-TF=3k-
k=
k
∵EF⊥PM，
∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF，
∴∠BPC=∠BFH
∵EF∥NT，
∴∠NTC=∠BFH=∠BPC
tan∠NTC=tan∠BPC=
=2，
∴tan∠NTC=
=2，
∴CT=
k=
，
∴k=
，
∴CK=2×
=3，BK=BC-CK=3
∵∠PKC+∠DKE=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，
∴∠BDK=∠PKC，
tan∠PKC=
=1，
∴tan∠BDK=1．
过K作KG⊥BD于G
∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB MN⊥AC，
∴∠PQA=∠ANM=90°，
∴AQ=MN，
∴△AQP≌△MNA（ASA）
∵AN=PQ AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分线的性质），
∴PC=AN；
证法二：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°=∠ANM
∵AQ=MN，
∴△PQA≌△ANM（ASA）
∴AP=AM，PQ=AN，
∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°，
∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∵∠APM=∠BPC，
∴∠QPB=∠BPC
∵∠BQP=∠BCP=90°，BP=BP
∴△BPQ≌△BPC（AAS）
∴PQ=PC，
∴PC=AN．
（2）解：解法一：
如图②，∵NP=2 PC=3，
∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5 AC=8，
∴AM=AP=5
∴AQ=MN=
| AM2?AN2 |
∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°
∴∠ABC=∠MAN
∴tan∠ABC=tan∠MAN=
| MN |
| AN |
| 4 |
| 3 |
∵tan∠ABC=
| AC |
| BC |
∴BC=6
∵NE∥KC，
∴∠PEN=∠PKC，
又∵∠ENP=∠KCP
∴△PNE∽△PCK，
∴
| NE |
| CK |
| NP |
| PC |
∵CK：CF=2：3，
设CK=2k，则CF=3k
∴
| NE |
| 2k |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形
∴NE=TF=
| 4 |
| 3 |
∴CT=CF-TF=3k-
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∵EF⊥PM，
∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF，
∴∠BPC=∠BFH
∵EF∥NT，
∴∠NTC=∠BFH=∠BPC
tan∠NTC=tan∠BPC=
| BC |
| PC |
∴tan∠NTC=
| NC |
| CT |
∴CT=
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
∴k=
| 3 |
| 2 |
∴CK=2×
| 3 |
| 2 |
∵∠PKC+∠DKE=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，
∴∠BDK=∠PKC，
tan∠PKC=
| PC |
| KC |
∴tan∠BDK=1．
过K作KG⊥BD于G
∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=
