Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）①当a＝12时，求函数在[1，e]上的最大值和最小值；②讨论函数的单调性；

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）①当a＝12时，求函数在[1，e]上的最大值和最小值；②讨论函数的单调性；③若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx-2对?x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

①当a＝

1

2

时f（x）=

1

2

x-1-lnx，f′(x)＝

1

2

?

1

x

，由f′(x)＝

1

2

?

1

x

＝0，得x=2．
当x＞2时，f'（x）＞0，当0＜x＜2时，f'（x）＜0．因为x∈[1，e]，所以f（x）_极小值=f（x）_min=f（2）=-ln2
又f(1)＝?

1

2

，f(e)＝

e

2

?2＝

e?4

2

＜?

1

2

，所以函数在[1，e]上的最大值是?

1

2

，最小值是-ln2．
②f′(x)＝a?

1

x

＝

ax?1

x

(x＞0)
当a＞0时，令f'（x）＞0，得x＞

1

a

，由f'（x）＜0得x＜

1

a

，所以f（x）在（0，

1

a

）上单调递减．在（

1

a

，+∞）上单调递增．
当a=0时，f'（x）=-

1

x

＜0恒成立．所以f（x）在（0，+∞）为减函数
当a＜0时，f'（x）=

ax?1

x

＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减．
综上，当a＞0时，f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在(

1

a

，+∞)单调递增，
当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递减
③f′(x)＝a?

1

x

，依题意：f'（1）=a-1=0，a=1，所以f（x）=x-1-lnx
又f（x）≥bx-2对?x∈（0，+∞）恒成立恒成立．
即x-1-lnx≥bx-2，所以b≤

1

x

+1?

ln?x

x

在x∈（0，+∞]上恒成立
令g(x)＝

1?lnx

x

+1，x＞0，则g′(x)＝

?2+ln?x

x2

当0＜x＜e²时，g'（x）＜0．当x＞e²时，g'（x）＞0，
所以当x=e²时，g(e2)min＝1?

1

e2

，所以b≤1?