Question

怎么求复合函数的单调区间（在各个定义域的单调性）

Answer 1

1、对复合函数f(x)求导，得 f’(x)；

2、分别求 f'(x)>0 和 f'(x)<0 的x 取值范围；

3、f'(x)>0 则复合函数f(x) 在x区间内单调递增；

f'(x)<0 则复合函数f(x) 在x区间内单调递减；

4、根据所求区间与定义域求交集，即可得到单调区间。

判断复合函数的单调性的步骤如下：

⑴求复合函数的定义域；

⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；

⑶判断每个常见函数的单调性；

⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

⑸求出复合函数的单调性。

扩展资料：

复合函数的单调性口诀：同增异减

内外函数的单调性相同（同），则复合函数为增函数（增）；

内外函数的单调性相反（异），则复合函数为减函数（减）。

关键：因为外函数的定义域是内函数的值域，所以判断外函数的单调性时，判断的是外函数在内函数的值域上的单调性。

例如：讨论函数y=的单调性。

解：函数定义域为R；

令u=x2-4x+3,y=0.8u；

指数函数y=0.8u在（-∞，+∞）上是减函数；

u=x2-4x+3在（-∞,2]上是减函数，在[2,+∞）上是增函数；

∴ 函数y=  

在（-∞,2]上是增函数，在[2,+∞）上是减函数。

参考资料：百度百科——复合函数

Answer 2

第一步，先确定原函数是由哪两个函数复合而成的；
第二步，分别考察那两个函数的单调性；
第三步，用“同增异减”下结论。

解题时，这种题目往往分两层，分开考虑。
若内层与外层函数有同样的单调性，则复合函数为增函数；
若内层与外层函数有相反的单调性，则复合函数为减函数。
例1：求f(x)=2^(x^2+2x+1)的单调性。
解：f(x)=2^u 外层函数
u=x^2+2x+1 内层函数
外层函数为增函数，所以只需考察内层函数的单调性：当x<-1时为减，当x>-1时为增
所以f(x)=2^(x^2+2x+1)当x>-1时为增，当x<-1时为减
例2：y=(1/3)^x^2-2x-3的单调区间
解：
这是复合函数，设t= x^2-2x-3,y=(1/3)^ t,
∵x^2-2x-3关于直线x=1对称,
∴t=x^2-2x-3的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(-∞,1] .
∵y=(1/3)^ t 是减函数，
根据复合函数“同增异减”的原则，可知：
原函数的单调减区间为[1,+∞),单调增区间为(-∞,1] .

例3：求函数log以2为底(x的平方-5X+6)的单调区间
【解】
先求定义域
x^2 -5x+6>0
x>3或者x<2.

再求括号内式子的单调性
u=x^2-5x+6=(x-5/2)^2-1/4，
对称轴是x=5/2,该二次函数在x>5/2时递增，在x<5/2时递减。
又因为log2(u)本身是增函数，
可知原函数在（负无穷，2）上递减，在（3，正无穷）上递增。

【加减复合】

在公共区间内：
增函数减减函数得增函数
减函数减增函数得减函数
增函数加增函数得增函数
增函数减增函数不能确定
减函数加减函数得减函数
减函数减减函数不能确定其增减性