Question

在△ABC中 AB=AC BD是中线 过点D作DE//BC 过A作AE//BD AE与DE交与E求证 四边形ADBE是矩形

把 AB=AC 改成AB=BC

Answer 1

设AB和DE相较于F点
∵BD是三角形ABC的中线 且 AB=BC
∴AD=CD=1/2AB 又∵DE‖BC∴AF=BF=AD=CD
在三角形AEF和三角形BDF中，∵AE‖DB 且 AF=BF ∴DF=EF
∴三角形AEF≌三角形BDF 且三角形AEF和三角形BDF为等腰三角形
则∠FEB=∠FBE=∠FAD=∠FDA
同理可得∠FEA=∠FAE=∠FBD=∠FDB
∴AD‖BE ∴四边形ABDE是平行四边形
又∵四边形内角和为360度
∴∠FEA+∠FEB=∠FBE+∠FBD=∠FDB+∠FDA=∠FAD+∠FAE=90°
∴平行四边形ADBE是矩形

当AB=BC时候
设AB和DE相交于F点
∵BD为三角形ABC的中线 ∴AD=CD
又∵DE‖BC ∴AF=BF=1/2AB=1/2BC DF=1/2BC
∵AE‖BD 且 AF=BF ∴DF=EF=1/2BC
∴AF=DF=BF=EF ∴三角形ADF 和 三角形BDF是等腰三角形
∴∠FAD=∠FDA ∠FBD=∠FDB
在三角形ADB中，三角形内角和为180°
∴∠DAB+∠DBA+∠ADF+∠BDF=180°
∠ADF+∠BDF=∠ADB=90°
∵AF=BF=EF=DF ∴AD‖BE ∴四边形ADBE为平行四边形
∵∠ADB=90°∴平行四边形ADBE为矩形