Question

f(x)=1/3x³+x²+ax+1 若f(x)在区间[-2.a]上单增，求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=x^2+2x+a
如果导函数f'(x)中的判别式：
4-4a≤0,即a≥1时，原函数在R上是增函数，满足条件；
如果导函数f'(x)中的判别式：
4-4a>0 , 即a<1时，
设f'(x)=0的两根为x1,x2
且x1<x2
令f'(x)>0得：x>x2,或x<x1,即单调增区间为：(-∞ ，x1)和(x2 ，+∞）
单调减区间为(x1,x2)
整个函数f(x)的单调性是先增，后减再增，呈大"N"字样，
要想函数f(x)在[-2,a]上单调增，只能是：
1）
a≤x1<x2;或
2）x1<x2≤-2，这种情况不可能，因为f'(x)的对称轴为：x=-1 ;
两根都比a 大的等价条件是：
{f'(a)≥0
{a<-1 （对称轴在a的右侧）
{a<1 (判别式大于零）
==>
{a^2+3a≥0
{a<-1
==>
{a≥0,或a≤-3
{a<-1
所以，a≤-3
综合可知：
a≤-3,或a≥1