Question

公理的公理系统

Answer 1

公理系统（axiomatic system）就是把一个科学理论公理化，用公理方法研究它，每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系。公理化的实现就是：①从其诸多概念中挑选出一组初始概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，称为导出概念；②从其一系列命题中挑选出一组公理，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。初始概念和公理是公理系统的出发点 。
公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题 。
例如欧几里德《几何原本》中就规定了五条公理和五条公设（以现代观点来看，公设也是公理），平面几何中的一切定理都可由这些公理和公设推导而得。
公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性（无矛盾性）、完全性，以及公理的独立性。其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的 。
由于公理系统可以建造一个完整的、无矛盾、满足一致性的理论体系，所以几乎所有的数学领域甚至一些数学以外的科学领域也采用了公理化体系来构造他们的理论系统。如现代得到多数人认可的大爆炸理论，就是基于这种认识。
在数学中，所有的定理都必须给予严格的证明，但公理却是无需证明的。因为数学公理是在基本事实或自由构造的基础上为了研究方便人为设定的。有些是一般性的东西，人类仍无法用现有理论推导，如1+1=2。
一个公理体系中的名词是预先已经定义的概念，这样的公理系统就是实质公理系统。如欧几里德几何公理系统。因为要先定义概念，所以就要有一些初始的概念作为定义其他概念的出发点，如欧氏几何中使用的“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”以及“同样的位置”等。