Question

设函数f(x)=x²+2(a-a²）x+4a-1,若存在x1∈[a-2,a-1]，存在x2∈[a+3,a+6]，满足f(x1+1)=f(x2)

则实数a的取值范围为___

Answer 1

f(x)=x²+2(a-a²)x+4a-1
=[x-(a²-a)]²-(a-a²)²+4a-1
f(x₁+1)=[(x₁+1)-(a²-a)]²-(a-a²)²+4a-1
f(x₂)=[x₂-(a²-a)]²-(a-a²)²+4a-1
f(x₁+1)=f(x₂)
[(x₁+1)-(a²-a)]²=[x₂-(a²-a)]²
(x₁+1)²-2(a²-a)(x₁+1)=x₂²-2(a²-a)x₂
(x₁+1-x₂)(x₁+x₂+1)=2(a²-a)(x₁+1-x₂)
∴x₁+x₂=2(a²-a)-1
∵x₁+x₂≤a+6+(a-2)=2a+4
x₁+x₂≥a+3+(a-1)=2a+2
2a+2≤2(a²-a)-1≤2a+4
2a²-4a-3≥0→x≥(2+√10)/2∪x≤(2-√10)/2
2a²-4a-5≤0→(2-√14)/2≤x≤(2+√14)/2
∴a∈[(2-√14)/2,(2-√10)/2]∪[(2+√10)/2,(2+√14)/2]