Question

关于求质点对细杆的引力的微积分问题

关于求质点对细杆的引力的微积分问题均匀细杆质量M，长l，与杆的一段垂直距离为a的地方有一质量为m的质点，求引力。
为什么不直接对dF在0～l上积分？还有，Fx和Fy的平方和等于dF的积分结果吗？

Answer 1

（1）假设质点在细杆的左边，以细杆的左端点为原点以细杆的右方为正方向，建立x轴．把细杆上[x，x+dx]的一小段近似的看成质点，由于细杆是均匀的，因此这一小段的质量为MdxL，与质量为m的质点的距离为x+a；

所以依据两质点的引力公式，得到这小段细杆对质点的引力为：dF＝KMmdxL(x+a)2

∴杆和质点间的相互引力F＝∫L0KMmdxL(x+a)2＝KMmL?[?1x+a]L0=KMmL[1a?1a+L]＝KMma(a+L)

（2）∫L+aaKMm(a+L+x)Ldx=KMmLln2(L+a)2a+L

扩展资料：

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x）的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

设Δx是曲线y = f(x）上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高阶无穷小），因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

参考资料来源：百度百科-微积分

Answer 2

（1）假设质点在细杆的左边，以细杆的左端点为原点以细杆的右方为正方向，建立x轴．把细杆上[x，x+dx]的一小段近似的看成质点，由于细杆是均匀的，因此这一小段的质量为MdxL，与质量为m的质点的距离为x+a；

所以依据两质点的引力公式，得到这小段细杆对质点的引力为：dF＝KMmdxL(x+a)2

∴杆和质点间的相互引力F＝∫L0KMmdxL(x+a)2＝KMmL[1x+a]L0=KMmL[1a1a+L]＝KMma(a+L)

（2）∫L+aaKMm(a+L+x)Ldx=KMmLln2(L+a)2a+L

扩展资料

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）

Answer 3

（1）假设质点在细杆的左边，以细杆的左端点为原点以细杆的右方为正方向，建立x轴．把细杆上[x，x+dx]的一小段近似的看成质点，由于细杆是均匀的，因此这一小段的质量为MdxL，与质量为m的质点的距离为x+a所以依据两质点的引力公式，得到这小段细杆对质点的引力为：dF＝KMmdxL(x+a)2∴杆和质点间的相互引力F＝∫L0KMmdxL(x+a)2＝KMmL?[?1x+a]L0=KMmL[1a?1a+L]＝KMma(a+L)（2）∫L+aaKMm(a+L+x)Ldx=KMmLln2(L+a)2a+L

Answer 4

其实这涉及一个物理学的知识：力F是个矢量，求合力用的也是矢量运算。如果直接对dF积分的话，这是力的模（大小）的积分，但是每个dF方向都不同，所以此处不能直接对dF积分。应该将dF分解为dFx和dFy，这样的话力的方向可以保证相同，就自然可以用积分运算了

Answer 5

可以去百度文库搜质点对细杆的引力分析，有我的一篇专门讲这个的