Question

设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x)

解答：
假若g(x)、h(x)存在,使得f(x)=g(x)+h(x),（1）,
且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)
于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),（2）
利用(1)、（2）式,g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
则 g(x)+h(x)=f(x),
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x).
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这个解题思路我看不懂啊？用假设证明假设？为什么要这样解啊？
以及，这道题的意思是不是任何一个定义域为R的函数都能由一个奇函数和一个偶函数构成？

Answer 1

①(–l,l)存在函数gx和hx②gx是偶函数hx是奇函数③fx=gx＋hx。我们分别假设三个都成立。如果三个条件可以互相证明，则所求既成立，因为人家并没有让你证明三个条件是对还是错，只是问你他放一起是不是成立。这就是我的理解

Answer 2

我也有这个疑惑，经人指点已经想明白了！
“假若g(x)、h(x)存在,使得f(x)=g(x)+h(x),（1）,
且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)
于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),（2）”
这一部分只是解题思路，后面开始才是正式解题过程。
有了前面的思路，我们就可以构造出g(x),h(x)的表达式，即g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2，
然后要证明的是g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且f(x)=g(x)+h(x)
这道题的意思不是任何一个定义域为R的函数都能由一个奇函数和一个偶函数构成，而是任何一个定义域关于原点对称的函数都能由一个奇函数和一个偶函数构成。

Answer 3

第一步是假设证明的问题是条件 即是用的反证法.
第二步是可以用第一步推出来的
后面的是用前面的条件推出来的,把最后的结果的要证明的比较看矛盾不就可以了