Question

设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h...

设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x). 书上证明过程：假若g(x)、h(x)存在,使得f(x)=g(x)+h(x),（1）, 且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x) 于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),（2） 利用(1)、（2）式,可以做出g(x)和h(x),这个启发我们做如下证明： g(x)=[f(x)+f(-x)]/2 h(x)=[f(x)-f(-x)]/2 则 g(x)+h(x)=f(x), g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x), h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x). 证毕. 没看懂这个题,也没看懂过程... 1这个题的条件和结论分别是什么? 2上面证明的过程是什么方法?有人说是反证,貌似也不是啊? 3本来就是让证明在(-l,l)上任意函数都能用一奇函数,一偶函数的和来表示,怎么证得这么不明不白? 谢谢~~

Answer 1

要证的是存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x)条件是函数f(x)的定义域为(-l,l)假若g(x)、h(x)存在,使得f(x)=g(x)+h(x),（1）,且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),（2）这几句是必然成立的,无需证明,也没用到任何条件,纯属构造只是一个铺垫,目的是引入g(x)和h(x)主要是证这两个函数中有一个是奇函数一个是偶函数,这才是证明的核心所在,只要找到了一个奇函数和一个偶函数来表示f(x),证明就完成了于是就有了下面的语句g(x)=[f(x)+f(-x)]/2h(x)=[f(x)-f(-x)]/2则
g(x)+h(x)=f(x),g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x).就是通过
f(x)把g(x)和h(x)表示出来然后通过这种对称的形式证明了f(x)
g(x)中一个是奇函数一个是偶函数