Question

证明数列｛（1+1/n）^n｝是递增数列

证明数列｛（1+1/n）^n｝是递增数列证明数列｛（1+1/n）^n｝是递增数列

Answer 1

这个数列的极限

lim(n→∞）（1+1/n）^n=e

是有界函数，因此要证明其是递增数列，那么就要是证明自然对数是递增数列就可以了

令f(n)=ln（1+1/n）^n=nln(1+1/n)

证明当n>0时，f'(n)>0即可

f'(n)=ln(1+1/n)+n*1/（1+1/n）*(-1/n^2)

=ln(1+1/n)-1/(n+1)

=ln[(1+1/n)*(n+1)]

=ln[(n+1)^2/n]

=ln(n+2+1/n)≥ln4>0

因此f(n)在n>0时是单增函数，因此g(n)=（1+1/n）^n为单增函数，（1+1/n）^n为递增数列。

扩展资料：

递增数列的性质 

1、集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。

2、集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。

3、递增数列的一般形式可以写成：a1,a2,a3,…,an,an+1,an+2,…

其中，an+1≥an(n≥1，且n为整数)

Answer 2

f（n）=e^（nln（1+1/n））
求导f'（n）=f（n）*（ln（1+1/n）+n（-1/n²）/（1+1/n））
=f（n）*（ln（1+1/n）-1/（n+1））
f（n）>0，要证明是递增数列，
只要证明ln（n+1）-lnn-1/（n+1）大于0即可

追问

虽然你实际上只回答了一半，但是确给了我一个思路！我还是要感谢你，采纳你的回答。

Answer 3

基本不等式：
（1+1/n）^n=1·（1+1/n）^n < [(1+n·(1+1/n))/(n+1)]^(n+1)=[1+1/(n+1)]^(n+1)
因此是递增的