Question

高数求和函数

帮忙看一下第二问，求详细的解题步骤，谢谢！

Answer 1

∑[n:1→∞]x^n /4^n =∑[n:1→∞](x/4)^n

显然，当-1<x/4<1时，级数收敛，故收敛区间为(-4,4)

部分和Sn=(x/4)[1-(x/4)^n] /(1- x/4) 

=x[1-(x/4)^n] /(4-x)

故和函数S=lim[n→+∞]Sn

=lim[n→+∞]x[1-(x/4)^n] /(4-x)

=x(1-0)/(4-x)

=x/(4-x)

Answer 2

隔项级数。得收敛半径的平方
R^2 = lim<n→∞>a<n>/a<n+1> = lim<n→∞>(2n+2)(n+1)!/[n!(2n+4)]
= lim<n→∞>(n+1)^2/(n+2) = +∞, R = +∞
∑<n=1,∞>(n+2)x^(2n+1)/n! = ∑<n=1,∞>[x^(2n+2)/n!]'
= [∑<n=1,∞>(x^2)^(n+1)/n!]' = [x^2∑<n=1,∞>(x^2)^n/n!]'
= {x^2[e^(x^2)-1]}' = [x^2e^(x^2)-x^2]'
= 2xe^(x^2)+ 2x^3e^(x^2)-2x = 2x(1+x^2)e^(x^2) - 2x
(-∞ < x < +∞)

追问

请问{x^2[e^(x^2)-1]}'中的-1是怎么出来的

追答

∑(x^2)^n/n! = ∑(x^2)^n/n! - 1 = e^(x^2) - 1
打出来不显示。 e^(x^2) 级数展开是 0 到无穷。现在题目是 1 到无穷，故得。