Question

在三角形ABC中ABC所对的边分别为abc若a平方+b平方+2c平方=8则三角形ABC面积最大值？

Answer 1

设△ABC的面积为S=(1/2)absinC,
所以sinC=2S/(ab),

由余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),
所以[2S/(ab)]^2+[(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]^2=1,
两边都乘以(2ab)^2,得16S^2+(a^2+b^2-c^2)^2=4a^2b^2,①
已知a^2+b^2+2c^2=8,
所以c^2=(8-a^2-b^2)/2,设u=a^2,v=b^2,都代入①，得
16S^2+[u+v-(8-u-v)/2]^2=4uv,
16S^2+[(3/2)(u+v)-4]^2=4uv,
16S^2=4uv-[(3/2)(u+v)-4]^2
<=(u+v)^2-(9/4)(u+v)^2+12(u+v)-16(当u=v时取等号)
=(-5/4)x^2+12x-16(其中0<x=u+v<8)
=(-5/4)(x-24/5)^2+64/5
x=24/5,u=v=12/5,a^2=b^2=12/5,c^2=8/5时16S^2=64/5.
所以16S^2的最大值是64/5,S的最大值是2√5/5.