Question

可逆矩阵A的秩和他逆矩阵的秩一样么，怎么证明

Answer 1

可逆矩阵A的秩和他逆矩阵的秩不一样。

证明过程如下：

A^(-1)=A*/|A|

A的逆矩阵的秩和伴随矩阵的秩是相同的

原矩阵和伴随矩阵的秩关系

R(A)=N，R(A*)=N，R(A^(-1))=N

R(A)=N-1，R(A*)=1，R(A^(-1))=1

R(A)〈N-1，R(A*)=0，R(A^(-1))=0

扩展资料：

初等变换法：对（A,E）作初等变换，将A化为单位阵E，单位矩阵E就化为A^-1。矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。

若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。两个可逆矩阵的乘积依然可逆。矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

Answer 2

可逆矩阵A的秩就是它的阶，它的逆矩阵也是可逆矩阵﹙其逆就是A﹚，秩也是阶，与A的阶一样。

∴可逆矩阵A的秩和他的逆矩阵的秩一样，是它们共同的阶。

首先注意到A(A^{-1}+B^{-1})B=B+A

于是A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}

从而有(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=B(A+B)^{-1}A

扩展资料：

可逆矩阵的性质：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

Answer 3

不一样的。
A^(-1)=A*/|A|
A的逆矩阵的秩和伴随矩阵的秩是相同的
原矩阵和伴随矩阵的秩关系
R(A)=N,R(A*)=N,R(A^(-1))=N
R(A)=N-1，R(A*)=1,R(A^(-1))=1
R(A)〈N-1，R(A*)=0,R(A^(-1))=0

Answer 4

可逆矩阵a的秩就是它的阶，它的逆矩阵也是可逆矩阵﹙其逆就是a﹚,秩也是阶，与a的阶一样。
∴可逆矩阵a的秩和他的逆矩阵的秩一样。是它们共同的阶。

Answer 5

上面回答不一样的真是逗，可逆矩阵的秩和它逆矩阵的秩，伴随矩阵的秩都是一样的，都是它的阶，只要有逆矩阵肯定是可逆的。。