Question

复变函数与积分变换 的几道题目求答

如题。 要有详细分析解答过程。多谢 1. z=0 是 cos[1/(z-1)]的什么奇点? Res[cos1/(z-1),1]= ? 2.设f(t)是以2为周期的周期函数，且在一个周期内的表达式为 ① f(t)= e的t次方，0＜t≤1; ② f(t)=0,1＜t＜2. 求拉普拉斯变换 L[f(t)]=? 3.将函数f(z)=(z+2)/[(z-1)(z-2)] 分别在 ①0＜|z-1|＜1 ②2＜|z|＜+∞ 展开成洛朗级数。 我知道有些式子符号很难表示，大家尽量让我明白就是了

Answer 1

1.是可去奇点
注意到lim(z->0)cos(1/(z-1))=cos(-1)
即极限存在有限
所以是个可去奇点
Laurent展开为cos(1/(z-1)=sigma(1/(2*n)!(-1)^n(1/(z-1))^(2*n))
其中z-1的负一次幂系数是0
所以Res（cos(1/(z-1)),z)=0
2.Laplace变换我不会
不好意思
3.1.(z+2)/(z-1)(z-2)=(z+2)*(1/(z-2)-1/(z-1))
=4/(z-2)-3/(z-1)
=-4/(1-(z-1))-3/(z-1)
=-4sigma((z-1)^n)-3/(z-1)
2.(z+2)/(z-1)(z-2)=4/(z-2)-3/(z-1)
=4/z*1/(1-2/z)-3/z*1/(1-1/z)
=4/z*sigma((2/z)^n)-3/z*((1/z)^n)
=sigma_{n=1}^{+Infinity}((4*2^n-3)*(1/z)^n)