Question

高二数学解析几何问题

过抛物线y^2=4x的焦点F作动弦AB,M是AB的中点则M到直线x-y=0的最短距离为多少？

要过程 谢谢

Answer 1

方法一：
由对称性可知，当焦点F为该弦AB的中点时，AB中点到直线x-y=的距离为最短，所以最短距离为2分之根号2。

方法二：
先把抛物线转化为x^2=4y......(1) （同理于题目）
依然求AB中点到y=x的最短距离
求M点的轨迹方程，也是抛物线，知最低点为F（0，1）
M的轨迹方程的对称轴为x=0，所以设y=ax^2+1......(2)
再在（1）上取一点，连接焦点求中点再代入（2）
则求得M的轨迹方程为：y=0.5x^2+1......（3）
再平移直线y=x，使得其与（3）交于一点，设平移后
的直线方程为y=x+b代入（3）由判别式=0得b=0.5
所以y=x与y=x+0.5的距离即为所求的=2分之根号2.