Question

已知向量OA=(1,0),向量OB=(3,4),O是坐标原点,角AOB的平分线交AB于点C,若向量OC=a/3 则a等于

a表示向量
已知向量OA=(1,0),向量OB=(3,4),O是坐标原点,角AOB的平分线交AB于点C,若向量OC=a/3 则a等于

Answer 1

解析：∵向量OA=(1,0),向量OB=(3,4)，∴|OA|=1，|OB|=5
又AC是角AOB的平分线交AB于点C
由角平分线定理知|OB|/|OA|= |BC|/|CA|=5
设二点坐标B(3,4)，A(1,0)，C(x,y)
x=(3+5)/(1+5)=4/3，y=4/(1+5)=2/3
∴向量OC=(4/3,2/3)=向量a/3
则向量a=(4,2)

Answer 2

设向量OC=(m,n),
cos<COA=OA·OC/（|OA|*|OC|）
=m/√(m^2+n^2)
cos<COB=OB·OC/(|OB|*|OC|)
=(3m+4n)/[√(m^2+n^2)√((3^2+4^2)]
=(3m+4n)/[5[√(m^2+n^2)],
cos<COA=cos<COB,
m/√(m^2+n^2)=(3m+4n)/[5[√(m^2+n^2)],
m=2n,
A、C、B三点共线，
向量AC=（m-1,n),向量CB=（3-m,4-n),
(m-1)/(3-m)=n/(4-n),
n=2m-2,
m=4/3,n=2/3,
向量OC=（4/3，2/3），
向量a=3OC,
向量a=(4,2).