Question

已知函数f(x)=-x的三次方+3x。1.证明函数f(x)是奇函数。2.求f(x)的单调区间

速度哇

Answer 1

1.
f(-x)=-(-x)^3+3(-x)=x^3-3x=-(-x^3+3x)=-f(x)
x取值范围全体实数，关于0对称
奇函数成立
2.f'(x)=-3x^2+3=0
x1=-1 x2=1

x≤-1时 f'(x)≤0 f(x)单调递减
x∈[-1,1] f'(x)≥0 f(x)单调递增
x≥-1时 f'(x)≤0 f(x)单调递减

对于一楼回答
减区间(-∞,-1)∪(1,+∞) 这时候不能用∪这个符号，只能说减区间分别为
（-∞,-1]和[1,+∞） 同时-1 和1都要用[],否则要扣分地

Answer 2

已知函数f(x)=-x的3次方+3x
证明：函数f(x)是奇函数
求f(x)的单调区间
1、∵
f(x)=-x^3+3x
∴
f(-x)=-（-x）^3+3（-x）=x^3-3x=-f（x）
∴
函数f(x)是奇函数
2、对函数f(x)求导得：f'（x）=3x^2-3
令y'=3x^2-3>0得
x>1
且
x<-1
∴
f(x)的单调递增区间为（-∞，-1）∪（1，∞）
令y'=3x^2-3<0得
-1<x<1
∴
f(x)的单调递减区间为（-1，1）

Answer 3

证明：
f(-x)=-(-x)^3+3(-x)
=x^3-3x
=-(-x^3+3x)
=-f(x)
f(x)为奇函数。

设定义域上x1,x2由奇函数性质，f(-x)和f(x)单调性一致可设x2>x1>0
f(x2)-f(x1)
=-x2^3+3x2-(-x1^3+3x1)
=-(x2^3-x1^3)+3(x2-x1)
=(x2-x1)[-(x2^2+x1x2+x1^2)]+3(x2-x1)
=(x2-x1)(3x2-3x1-x2^2-x1x2-x1^2)
由于2x1x2≤x1^2+x2^2
因此
f(x2)-f(x1)≥（x2-x1)(3x2-3x1-x2^2-x1^2-x2^2/2-x1^2/2)
=(1/2)(x2-x1)(6x2-6x1-3x1^2-3x2^2)
=(-3/2)(x2-x1)(x1^2+2x1-x2^2-2x2)
=(-3/2)(x2-x1)[(x1^2+2x1+1)-(x2^2+2x2+1]
=(-3/2)(x2-x1)[(x1+1)^2-(x2+1)^2]
>0
f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)
函数单调递增。

Answer 4

1.f(x)=-f(-x),且f(0)=0,区间关于原点对称，故f(x)是奇函数；
2。f(x)求导得 -3x^2+3;
令-3x^2+3>0,解出来是单调递增区间；
令-3x^2+3<0,解出来的是递减区间。

Answer 5

1、
f(-x)=-(-x)³+3(-x)
=x³-3x
=-(-x³+3x)
=-f(x)

且定义域是R，关于原点对称
所以是奇函数

2、
f'(x)=-3x²+3=0
x=±1
f'(x)开口向下
所以x<-1,x>1,f'(x)<0,减函数
-<X<<F"(x)>0,增函数
所以
增区间(-1,1)
减区间(-∞,-1)∪(1,+∞)