Question

关于线性代数的

Answer 1

|λE-A| =
|λ 0 -a -b|
|0 λ -b -a|
|-a -b λ 0|
|-b -a 0 λ|
第2,3,4列均加到第1列，得
|λ-a-b 0 -a -b|
|λ-a-b λ -b -a|
|λ-a-b -b λ 0|
|λ-a-b -a 0 λ|
第一行的（-1）倍分别加到第2,3,4行，得

|λ-a-b 0 -a -b|
|0 λ a-b b-a|
|0 -b λ+a b|
|0 -a a λ+b|
得 |λE-A| =(λ-a-b)*
| λ a-b b-a|
|-b λ+a b|
|-a a λ+b|
第3列加到第2列，得 |λE-A| =(λ-a-b)*
| λ 0 b-a|
|-b λ+a+b b|
|-a λ+a+b λ+b|
第2行的（-1）倍加到第3行，得 |λE-A| =(λ-a-b)*
| λ 0 b-a|
|-b λ+a+b b|
|b-a 0 λ|
得 |λE-A| =(λ-a-b)(λ+a+b)*
| λ b-a|

|b-a λ|
得 |λE-A| =(λ-a-b)(λ+a+b)(λ+a-b)(λ-a+b)=0
则矩阵A的特征值是 λ= -(a+b), a-b, -a+b, a+b.
对于 λ=-(a+b), λE-A=
[-a-b 0 -a -b]
[0 -a-b -b -a]
[-a -b -a-b 0]
[-b -a 0 -a-b]
初等变换为
[a+b 0 a b]
[0 a+b b a]
[a b a+b 0]
[b a 0 a+b]
初等变换为
[a b a+b 0]
[b -b -b b]
[0 a+b b a]
[0 a+b b a]
初等变换为
[a b a+b 0]
[1 -1 -1 1]
[0 a+b b a]
[0 0 0 0]
初等变换为
[1 -1 -1 1]
[0 a+b 2a+b -a]
[0 0 -2a 2a]
[0 0 0 0]
初等变换为
[1 -1 -1 1]
[0 a+b 2a+b -a]
[0 0 1 -1]
[0 0 0 0]
初等变换为
[-1 1 1 -1]
[0 -a-b -2a-b a]
[0 0 1 -1]
[0 0 0 0]
特征向量为(-1,-1,1,1)^T, 即(-1/2,-1/2,1/2,1/2)^T
用类似方法求出另外3个特征向量。
太繁琐了。