Question

对于函数f（x）=x3+ax2-x+1的极值情况，4位同学有下列说法： 甲：该函数

甲：该函数必有2个极值；
乙：该函数的极大值必大于1；
丙：该函数的极小值必小于1；
丁：方程f（x）=0一定有三个不等的实数根。 这四种说法中，正确的个数是 特别是分析下丁

Answer 1

f'(x)=3x^2+2ax-1, 判别式=4a^2+12>0, 因此f'(x)=0有2个不同的实根，为函数的极值点,即甲正确；
不妨记x1<x2， f'(x1)=f'(x2)=0, 在极值点有3x^2+2ax-1=0,
即ax=(1-3x^2)/2, f(x)=x^3+ax^2-x+1=x^3+x(1-3x^2)/2-x+1=-x(x^2+1)/2+1
因为x1x2=-1/3<0, 所以x1,x2异号，即x1<0<x2
极大值为f(x1), f(x1)=-x1(x1^2+1)/2+1>1, 故乙正确；
极小值为f(x2), f(x2)=-x2(x2^2+1)/2+1<1, 故丙正确；
要使丁正确，必须使极小值<0, 即-x2(x2^2+1)/2+1<0, 得x2^3+x2-2>0, 即(x2-1)(x^2+2)>0, 得：x2>1
换言之，只有当x2>1时，才有3个不等实根，但显然这不是恒成立的，比如当a=0时，x2=1/√3就不符合。
因此丁不正确。

追问

即ax=(1-3x^2)/2, f(x)=x^3+ax^2-x+1=x^3+x(1-3x^2)/2-x+1=-x(x^2+1)/2+1 你这里转化错了

Answer 2

f'=3x^2+2ax-1
△=4a^2+12>0,所以导数=0时有两个根。
x1，x2= (-2a +/- 根号(4a^2+12 ))/6 = (-a +/- 根号(a^2+3))/3
x∈（-无穷，(-a-根号(a^2+3))/3 ) f' >0，f单调递增
x∈((-a-根号(a^2+3))/3,(-a+根号(a^2+3))/3)) f'<0，f单调递减
x∈（(-a+根号(a^2+3))/3，+无穷) f'>0，f单调递增
所以在x=(-a - 根号(a^2+3))/3 取极大值
x=(-a + 根号(a^2+3))/3 取极小值