Question

高中数学基本不等式和解三角形（要详细过程，我高一的）

1 锐角三角形△ABC中，若A=2B，则下列描述的是正确的是（）
①sin3B=sinC ②tan3B/2*tanC/2=1 ③∏/6<B<∏/4
④a/b ∈[根号2，根号3]
A.①② B.①②③ C.③④ D.①④

2 已知△ABC中，若AB=根号5，AC=5，且cosC=9/10，则BC= ？

3 在△ABC中，角A，B，C的对边a,b,c,若a,b,c成等差数列，B=30°，△ABC的面积为3/2，则b= ？

4 在△ABC中，∠C=60°，abc分别为∠A∠B∠C的对边，则a/(b+c) +b/(a+c) = ?

5 已知锐角△ABC的三个内角ABC对边分别是abc， (a+b)/(cosA+cosB)=c/cosC
求证：角A C B成等差数列。

6 若x、y∈R，且 2x+8y-xy=0, 求x+y的最小值。

Answer 1

三角函数的题基本上都是用正余弦定理，以及那些诱导公式，倍角公式，万能公式等等推到化简得到的~！题不难，计算时小心点就行了！

1. sinC=sin[∏-(A+B)]=sin(A+B)=sin3B ---第一个对。
(A+B+C)/2=(C+3B)/2=∏/2,
-->cos(C/2+3B/2)=cosC/2*cos3B/2-sinC/2*sin3B/2=0
上式除以cosC/2*cos3B/2，即得tan3B/2*tanC/2=1---第二个对。
易知 A=2B<∏/2,C=∏-3B<∏/2,-->∏/6<B<∏/4 ---第三个对。
a/b=sinA/sinB=sin2B/sinB=2cosB,B∈（∏/6<B<∏/4）
--》a/b∈（√2，√3），边界为空，---第四个错
故答案为 B
2. 由余弦定理可得，AC^2+BC^2-2AC*BC*cosC=BC^2
--> BC=4,或 BC=5（两根都成立）
3. 易知面积S=1/2acsin30º=3/2，--》ac=6,
由题意知， a+c=2b;
且由余弦定理得：a^2+c^2-2accos30º= b^2
把前两个式子代入三式--》b=1+√3，（a,c的值不用解哦，整体代入）
4.条件较少，所求式子通分后出现平方项，可联想用余弦定理~
a^2+b^2-2abcos60º= c^2--> a^2+b^2=c^2+ab
a/(b+c) +b/(a+c) =( a^2+b^2+ac+bc)/[(b+c) (a+c)]
= (c^2+ab+ac+bc)/[(b+c) (a+c)]
=[(b+c) (a+c)] /[(b+c) (a+c)]
=1
5.利用正弦定理，(sinA+sinB)/(cosA+cosB)=sinC/cosC,乘开。
--》sinAcosC+sinBcosC=cosAsinC+cosBsinC，
移项合并 --》sin(A-C)=sin(C-B)
-->A-C=C-B 或 A-C+C-B=∏
-->A+B=2C,或A-B=∏(舍)
综上可知 角A C B成等差数列。
6.易知X=8时，代入等式不成立
-->X≠8，
-->Y= 2X/(X-8)=2+16/(X-8),
-->X+Y=(X-8)+16/(X-8)+10
-->当X>8时，X+Y>=2*4+10=18
当X<8时，X+Y<=-2*4+10=2
故X+Y∈（-∞，2]∪[18,+∞)
故在给定的定义域上没有最小值。(兄弟，题中的R是不是还有个+，你忘写了啊，X,Y如果是正实数，则最小值是18)

Answer 2

1,
sinC=sin[π-(A+B]=sin(A+B)=sin3B
sin(A+B)-sin3B=2cos(A/2+2B)sin(A/2-B)=0(和差化积)
A/2=B,A=2B时sin(A/2-B)=0,所以等式成立
tan(3B/2)*tan(C/2)=1
tanC/2=(1-cosC)/sinC=[1+cos(A+B)]/sin(A+B)
tan(3B/2)=(1-cos3B)/sin3B
原式变为
[1+cos(A+B)](1-cos3B)=sin(A+B)*sin3B
即1+cos(A+B)-cos3B-cos(A+B)cos3B=sin(A+B)*sin3B
左右*2,积化和差
2+2[cos(A+B)-cos3B]-[cos(A+4B)+cos(A-2B)]=-[cos(A+4B)-cos(A-2B]
整理
1+cos(A+B)-cos3B-cos(A-2B)=0(cos0=1)
cos0+cos(A+B)=cos3B+cos(A-2B)
2cos[(A+B)/2]^2=2cos[(A+B)/2]cos[(A-5B)/2]（和差化积)
得cos[(A+B)/2]=cos[(A-5B)/2]
将A=2B代入,等式也成立
0<A<π/2,而A=2B,π/2<A+B=3B=π-C<π所以π/6<B<π/3,不正确
a/b=sinA/sinB=sin2B/sinB=2cosB∈(1,√3)
故只有①②正确,A
2,
记AB=c,AC=b,BC=a,
所以c=√5,b=5
cosC=9/10=(a²+b²-c²)/2ab=(a²+20)/10a
得a²-9a+20=0,a=4或a=5
3,
由题意2b=a+c
cosB=√3/2=(a²+c²-b²)/2ac=[(a+c)²-2ac-b²]/2ac=(3b²-2ac)/2ac=3b²/2ac-1
得ac=(2-√3)b²
S=1/2acsinB=1/4*(2-√3)b²=3/2,b²=6(2+√3),b=√3(√3+1)=3+√3
4,
有些搞不出....
5,
(a+b)/(cosA+cosB)=c/cosC
正弦定理
(sinA+sinB)/(cosA+cosB)=sinC/cosC=sin(A+B)/[-cos(A+B)]
sin(A+B)(cosA+cosB)=-(sinA+sinB)cos(A+B)
即sin(A+B)(cosA+cosB)+(sinA+sinB)cos(A+B)=0
[sin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA]+[sin(A+B)cosB+cos(A+B)sinB]=0
sin(2A+B)+sin(A+2B)=0
2sin[(3A+3B)/2]cos[(A-B)/2]=0
则sin[(3A+3B)/2]=0或cos[(A-B)/2]=0
当sin[(3A+3B)/2]=0,(3A+3B)/2=kπ,k∈Z,
A+B=2kπ/3,k∈Z,0<A+B<π,所以A+B=2π/3,所以C=π/3
所以2C=A+B,角A C B成等差数列
(一种情况成立,另一种一定不成立)
6,
2x+8y-xy=0
x,y必同时为0,当x=y=0时,x+y=0
2x+8y-xy=0,即2x+8y=xy,若x,y不为0,2/y+8/x=1
若x,y>0,令2/y=(sina)²=8/x=(cosa)²,即y=2/(sina)²,x=8/(cosa)²,a∈[0,2π)
x+y=2/(sina)²+8/(cosa)²=2(csca)²+8(seca)²=2(1+cota²)+8(1+tana²)=10+2(1/tana²+4tana²)>=10+2*4=18
若x,y<0,显然2/y+8/x=1不成立
若x>0,y<0,设8/x=(seca)²,2/y=(tana)²,即x=8/(seca)²=8(cosa)²,y=2/(tana)²=2(cota)²,a∈[0,2π),
x+y=8(cosa)²+2(cota)²=2cosa²(4+1/sina²)=2(1-sina²)(4+1/sina²)=2(3-4sina²+1/sina²).....
有点事,一会来打

Answer 3

1，B
锐角三角形△ABC中，若A=2B
A+B+C=π C=π-3B
sinC=sin(π-3B）=sin3B ①对

tanC/2=tan【（π-3B）/2】=tan（π/2-3B/2）=cot3B/2
cot3B/2*tan3B/2=1 ②对
0＜B＜π/2，0＜A=2B＜π/2，0＜C=π-3B＜π/2
∴③∏/6<B<∏/4 对

a/b=sinA/sinB=sin2B/sinB=2sinBcosB/sinB=2cosB
∏/6<B<∏/4 2cosB∈(根号2，根号3) ④a/b ∈[根号2，根号3]错
所以选B

2.设BC=x 由余弦定理 x²+25-5/2*5*x=cosC=9/10
解得x=4或5

3.，△ABC的面积为3/2，所以1/2acsinB=3/2
ac=6
由余弦定理 a²+c²-b²/2ac=cosB=√3/2
a²+c²-b²=6√3
2ac+a²+c²-b²=6√3+2ac
(a+c)²-b²=6√3+12
a,b,c成等差数列
a+c=2b so 3b²=6√3+12
b²=2√3+4=(√3+1)²
b==√3+1

4.a/(b+c) +b/(a+c) = sinA/(sinB+sinC)+sinB/(sinA+sinC)=
sinA/(sinB+√3/2)+sinB/(sinA+√3/2)=4sin²A+4sin²B+2√3(sinA+sinB)/4
sinAsinB+sin²C+2√3(sinA+sinB)

由余弦定理sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinB*1/2
∴sin²A+sin²B=sin²C+sinAsinB
∴
a/(b+c) +b/(a+c) =1

5.(a+b)/(cosA+cosB)=c/cosC=（sin A+sin B）/(cosA+cosB)=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] /2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] =2sin[(α+β)/2]/2cos[(α+β)/2]=tan[(α+β)/2]=cotC/2=sinC/cosC=tanC=2tan(C/2）/（1-tan²(C/2))
解得 tan(C/2）=√3/3 所以C=60°
A+B=120°=2C
∴角A C B成等差数列

6.2x+8y-xy=0，∴2/y+8/x=1
两边同乘x+y x+y=(x+y）(2/y+8/x）=2x/y+8y/x+10≥2√（2x/y*8y/x）+10=18 x+y的最小值为18

Answer 4

1.B,根据A+B+C=180得C=180-(A+B)=180-3B,①正确。②③也可由角的关系推出。

2.由cosC=（AC平方+BC平方-5）/2*5*BC=9/10（余弦定理）,可得BC=4或5

3.b=1+根号3.因为a,b,c成等差数列得a+c=2b①;1/2acsinB=3/2②;(a^2+c^2-b^2)/2ac=根号3/2(余弦定理）③。联立①②③可求出b=1+根号3

4. 1 先通分再用余弦定理。

5.

6. 2 x=8y/(y-2),x+y=(y^2+6y)/y-2,用导数的方法得出极值，代入求最小值。

Answer 5

1,
sinC=sin[π-(A+B]=sin(A+B)=sin3B
sin(A+B)-sin3B=2cos(A/2+2B)sin(A/2-B)=0(和差化积)
A/2=B,A=2B时sin(A/2-B)=0,所以等式成立
tan(3B/2)*tan(C/2)=1
tanC/2=(1-cosC)/sinC=[1+cos(A+B)]/sin(A+B)
tan(3B/2)=(1-cos3B)/sin3B
原式变为
[1+cos(A+B)](1-cos3B)=sin(A+B)*sin3B
即1+cos(A+B)-cos3B-cos(A+B)cos3B=sin(A+B)*sin3B
左右*2,积化和差
2+2[cos(A+B)-cos3B]-[cos(A+4B)+cos(A-2B)]=-[cos(A+4B)-cos(A-2B]
整理
1+cos(A+B)-cos3B-cos(A-2B)=0(cos0=1)
cos0+cos(A+B)=cos3B+cos(A-2B)
2cos[(A+B)/2]^2=2cos[(A+B)/2]cos[(A-5B)/2]（和差化积)
得cos[(A+B)/2]=cos[(A-5B)/2]
将A=2B代入,等式也成立
0
0,令2/y=(sina)²=8/x=(cosa)²,即y=2/(sina)²,x=8/(cosa)²,a∈[0,2π)
x+y=2/(sina)²+8/(cosa)²=2(csca)²+8(seca)²=2(1+cota²)+8(1+tana²)=10+2(1/tana²+4tana²)>=10+2*4=18
若x,y<0,显然2/y+8/x=1不成立
若x>0,y<0,设8/x=(seca)²,2/y=(tana)²,即x=8/(seca)²=8(cosa)²,y=2/(tana)²=2(cota)²,a∈[0,2π),
x+y=8(cosa)²+2(cota)²=2cosa²(4+1/sina²)=2(1-sina²)(4+1/sina²)=2(3-4sina²+1/sina²).....
有点事,一会来打

Answer 6

1、选A ①sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin3B,对。
②tanC/2*tan3B/2=[tan(π-A-B)/2]*tan3B/2=cot(A+B)/2*tan3B/2
=cot3B/2*tan3B/2=1，对。
③由锐角三角形，0＜∠C＜π/2,即0＜π-∠A-∠B＜π/2
∴0＜π-3∠B＜π/2,得π/6＜B＜π/3，错。
2、由cosC=9/10得cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab,
即(a^2+25-5)/10a=9/10,∴a^2-9a+20=0,得a=4或a=5
经检验均成立。
3、解：由S△ABC=1/2*ac*sinB=3/2得ac=6
a,b,c成等差数列,∴2b=a+c
又cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=[（a+c)^2-b^2-2ac]/2ac=(3b^2-2ac)/2ac=√3/2
∴(3b^2-12)/12=√3/2,得b^2=4+2√3
∴b=√3+1
4、解。由cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=1/2
得a^2+b^2-c^2=ab
∴a^2-c^2=ab-b^2=b(a-b),b^2-c^2=ab-a^2=a(b-a)
又a/(b+c) +b/(a+c) =[a(b-c)]/(b^2-c^2)+[b(a-c)]/(a^2-c^2)
=[a(b-c)]/[a(b-a)]+[b(a-c)]/[b(a-b)]=(b-c)/(b-a)+(a-c)/(a-b)
=(b-c-a+c)/(b-a)=1
5、解：由 (a+b)/(cosA+cosB)=c/cosC，得
（sinA+sinB)/(cosA+cosB)=sinC/cosC
∴sinAcosC-sinCcosA=sinCcosB-sinBcosC
即sin(A-C)=sin(C-B)
∵锐角△ABC∴A-C=C-B
即A+B=2C,∴角A C B成等差数列。
6、解，由2x+8y-xy=0,得y=2x/(x-8)=2+16/(x-8)
∴x+y=x+2+16/(x-8)=x-8+16/(x-8)+10≥8+10=18
当且仅当（x-8)^=16,且x-8＞0时成立，即x=12,y=6
x+y的最小值为18