Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥

如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；（2）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式．（3）在原图中，连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）

Answer 1

解：（1）假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），设AP=x
∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
又∠ADP+∠APD=90°，
∴∠BPC=∠ADP，
又∠B=∠A=90°，
∴△PBC∽△DAP，
∴

PB

DA

=

BC

AP

，
∴

10?x

4

＝

4

x

，
∴x²-10x+16=0
解得：x=2或8，
∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8．

（2）由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），
∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，
∴△PBQ≌△DAP，（5分）
∴PB=DA=4，AP=BQ=m-4，（6分）
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的
函数关系式为：S_{四边形PQCD}=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△QBP
=DA×AB-

1

2

×DA×AP-

1

2

×PB×BQ
=4m-

1

2

×4×（m-4）-

1

2

×4×（m-4）=16．

（3）如下图，∵PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC，
∵∠BPQ=∠ADP，
∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，
∴△ABC∽△DAP，
∴

AB

DA

=

BC

AP

，
即

m

4

=

4

AP

，
∴AP=

16

m

．
∵PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC，

PB

AB

=

BQ

BC

，即

m? 16 m

m

＝

BQ

4

，
∴BQ=4-

64

m2

．
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题干有误吗？若有，请说明一下，若无，请解答一下，谢谢．
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