已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求实数a的
已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求实数a的值....
已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求实数a的值.
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(1)f′(x)=a(x-2)2+2ax(x-2)
=a(x-2)(x-2+2x)=a(x-2)(3x-2)
∵a>0,
∴当x≤
或x≥2时,f′(x)≥0,
则f(x)在区间(-∞,
],[2,+∞)上单调递增;
当
≤x≤2时,f′(x)≤0,
则f(x)在区间[
,2]上单调递减.
即函数f(x)的单调增区间为(-∞,
],[2,+∞),单调减区间为[
,2].
(2)f极大值(x)=f(
)=a
(
-2)2=32,
解得a=27.
=a(x-2)(x-2+2x)=a(x-2)(3x-2)
∵a>0,
∴当x≤
2 |
3 |
则f(x)在区间(-∞,
2 |
3 |
当
2 |
3 |
则f(x)在区间[
2 |
3 |
即函数f(x)的单调增区间为(-∞,
2 |
3 |
2 |
3 |
(2)f极大值(x)=f(
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
解得a=27.
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