设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(2)=0,证明:至少存在一点ξ∈(1,2),使得ξf′(
设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(2)=0,证明:至少存在一点ξ∈(1,2),使得ξf′(ξ)lnξ+f(ξ)=0....
设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(2)=0,证明:至少存在一点ξ∈(1,2),使得ξf′(ξ)lnξ+f(ξ)=0.
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令F(x)=f(x)lnx.
因为f(x)、lnx在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,
故F(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导.
对F(x)利用拉格朗日中值定理可得,
至少存在一点ξ∈(1,2),使得:F(2)-F(1)=F′(ξ)(2-1)=F′(ξ).(*)
又因为F′(x)=f′(x)lnx+f(x)?
,f(2)=0,
所以F′(ξ)=f′(ξ)lnξ+f(ξ)?
,F(2)=F(1)=0,
从而,由(*)式可得:f′(ξ)lnξ+f(ξ)?
=0,
即:ξf′(ξ)lnξ+f(ξ)=0
所以,至少存在一点ξ∈(1,2),使得 ξf'(ξ)lnξ+f(ξ)=0.
因为f(x)、lnx在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,
故F(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导.
对F(x)利用拉格朗日中值定理可得,
至少存在一点ξ∈(1,2),使得:F(2)-F(1)=F′(ξ)(2-1)=F′(ξ).(*)
又因为F′(x)=f′(x)lnx+f(x)?
1 |
x |
所以F′(ξ)=f′(ξ)lnξ+f(ξ)?
1 |
ξ |
从而,由(*)式可得:f′(ξ)lnξ+f(ξ)?
1 |
ξ |
即:ξf′(ξ)lnξ+f(ξ)=0
所以,至少存在一点ξ∈(1,2),使得 ξf'(ξ)lnξ+f(ξ)=0.
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