Question

已知椭圆C： 的离心率为 ，F 1 、F 2 分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的方程

已知椭圆C： 的离心率为 ，F 1 、F 2 分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF 1 为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF 1 F 2 面积的最大值．

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Answer 1

解：（1）因为2c=2，且 ， 所以c=1，a=2． 所以b 2 =3． 所以椭圆C的方程为 ． （2）设点M的坐标为（x 0 ，y 0 ），则 ． 因为F 1 （﹣1，0）， ， 所以直线l的方程为x=4． 由于圆M与l有公共点，所以M到l的距离4﹣x 0 小于或等于圆的半径R． 因为R 2 =MF 1 2 =（x 0 +1） 2 +y 0 2 ， 所以（4﹣x 0 ） 2 ≤（x 0 +1） 2 +y 0 2 ， 即y 0 2 +10x 0 ﹣15≥0． 又因为 ， 所以 ． 解得 ． 又 ， ∴ 当 时， ， 所以 ．