Question

已知函数f（x）=|2x+1|-|x-4|（1）求函数f（x）的值域（2）若关于x的不等式f（x）≥a2-3a-7在x∈[0，5]上

已知函数f（x）=|2x+1|-|x-4|（1）求函数f（x）的值域（2）若关于x的不等式f（x）≥a2-3a-7在x∈[0，5]上恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)＝

?x?5，x＜? 1 2 3x?3，? 1 2 ≤x≤4 x+5，x＞4

当x＜?

1

2

时，f(x)＞?

9

2

当?

1

2

≤x≤4时，?

9

2

≤f(x)≤9x＞4时，f（x）＞9
综上，f(x)≥?

9

2

，值域[?

9

2

，+∞)
（2）由于f（x）≥a²-3a-7在x∈[0，5]上恒成立，
则使函数在[0，5]上最小值大于等于a²-3a-7即可
∵0≤x≤4时，f（x）=3x-3为增函数，∴-3≤f（x）≤9
又∵x＞4时，f（x）＞9∴x∈[0，5]时，f（x）≥-3
∴a²-3a-7≤-3，即a²-3a-4≤0，解得-1≤a≤4