Question

某工厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）

某工厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数R（x）=5x?x22（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？

Answer 1

（1）∵某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为0.5万元，每生产一百件这样的产品，需要增加可变成本0.25万元，产品售出的数量为x百台，销售的收入函数R（x）=5x?

x2

2

（万元）（0≤x≤5），设利润函数为L（x），
∴当0≤x≤5时，
L（x）=（5x?

x2

2

）-（0.5+0.25x）=?

x2

2

+4.75x?0.5，
当x＞5时，只能售出5百台，
∴L（x）=（5×5-

52

2

）-（0.5+0.25x）=12-0.25x，
综上，L（x）=

? x2 2 +4.75x?0.5，0≤x≤5 12?0.25x，x＞5

；
（2）∵L（x）=

? x2 2 +4.75x?0.5，0≤x≤5 12?0.25x，x＞5

，
①当0≤x≤5时，L（x）=?

x2

2

+4.75x?0.5，
∵抛物线开口向下，对称轴为x=4.75，
∴当x=4.75时，L（x）_max=L（4.75）=10.75；
②当x＞5时，L（x）=12-0.25x为R上的减函数，
∴L（x）＜L（5）=10.75．
综合①②，当x=4.75时，L（x）取最大值，
∴年产量为475台时，所利润最大．
（3）∵工厂不亏本时，则L（x）≥0，
当0≤x≤5时，令L（x）=?

x2

2

+4.75x?0.5≥0，解得0.11≤x≤48；
当x＞5时，令L（x）=12-0.25x≥0，解得5＜x≤48，
∴年产量是0≤x≤48时，工厂才不亏本．