Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意正实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-2，且当x＞1时恒

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意正实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-2，且当x＞1时恒有f（x）＜2，则下列结论正确的是（　　）A．f（x）在（0，+∞）上是减函数B．f（x）在（0，+∞）上是增函数C．f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数D．f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数

Answer 1

设x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1，
∵当x＞1时恒有f（x）＜2，∴f（

x1

x2

）＜2，
∵任意正实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-2，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

?x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）-2＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
故选：A．