Question

已知圆的内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6， CD＝DA＝4，（1）求角A的大小；（2）求四边形ABCD的

已知圆的内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6， CD＝DA＝4，（1）求角A的大小；（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

（1）A＝120º（2）8

试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化. 由面积公式有四边形ABCD的面积S＝S △ABD ＋S △BCD ＝ AB·AD·sinA＋ BC·CD·sinC，∵A＋C＝180º∴sinA＝sinC∴S＝16sinA．由余弦定理得：BD 2 ＝AB 2 ＋AD 2 －2AB·AD·cosA＝20－16cosA，BD 2 ＝CB 2 ＋CD 2 －2CB·CD·cosC＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC解之：cosA＝－  , 又0º＜A＜180º, ∴A＝120º，（2）由(1)有四边形ABCD的面积S＝16 ，所以S＝16sin120º＝8 . 解：四边形ABCD的面积S＝S △ABD ＋S △BCD ＝ AB·AD·sinA＋ BC·CD·sinC ∵A＋C＝180º∴sinA＝sinC∴S＝16sinA． 由余弦定理得：BD 2 ＝AB 2 ＋AD 2 －2AB·AD·cosA＝20－16cosA， BD 2 ＝CB 2 ＋CD 2 －2CB·CD·cosC＝52－48cosC， ∴20－16cosA＝52－48cosC解之：cosA＝－  , 又0º＜A＜180º, ∴A＝120º，S＝16sin120º＝8