Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（1）求f（x）的解析式

已知二次函数f（x）=ax2+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是单调减函数，那么：①求k的取值范围；②是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x+1）为偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），
即a（-x+1）²+b（-x+1）=a（x+1）²+b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f（x）=ax²-2ax
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴二次方程ax²-（2a+1）x=0有两相等实数根，
∴△=（2a+1）²-4a×0=0
∴a＝?

1

2

，f(x)＝?

1

2

x2+x（4分）

（2）①g(x)＝?

1

2

x3+x2?kx，g′(x)＝?

3

2

x2+2x?k
∵g（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数
∴g′（x）≤0在（-∞，+∞）上恒成立．
∴△＝4?4(?

3

2

)(?k)≤0，得k≥

2

3

故k的取值范围为[

2

3

，+∞)（7分）
②∵f(x)＝?

1

2

(x?1)2+

1

2

≤

1

2

，
∴[km，kn]?(?∞，

1

2

]，
∴kn≤

1

2

，又k≥

2

3

，
∴n≤

1

2k

≤

3

4

，
∴[m，n]?（-∞，1]，
∴f（x）在[m，n]上是单调递增函数（9分）
∴

f(m)＝km f(n)＝kn

即

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