Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点B的切线与CA的延长线相交于点E，且∠BEC=90°，点D在OA的延长线上，AO⊥BC，

如图，△ABC内接于⊙O，过点B的切线与CA的延长线相交于点E，且∠BEC=90°，点D在OA的延长线上，AO⊥BC，∠ODC=30°．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若CA=6，求DC的长．

Answer 1

（1）连接OC，如图所示： ∵AO⊥BC，且O为圆心， ∴点A为 BC 的中点，即 AB = AC ， ∴∠BCA=∠ABC， 又BE为切线， ∴∠ABE=∠ACB， ∴∠ABE=∠ACB=∠ABC， ∵∠BEC=90°， ∴∠ABE=∠ACB=∠ABC=30°， ∴∠AOC=2∠ABC=60°，又∠ODC=30°， ∴∠OCD=180°-∠AOC-∠ODC=90°， ∴OC⊥CD， 则CD为圆O切线； （2）∵OA=OC，∠AOC=60°， ∴△AOC为等边三角形， ∴OA=OC=AC=6， 在Rt△OCD中，∠ODC=30°， ∴tan∠ODC=tan30°= OC CD ， 则CD= OC tan30° =6 3 ．