Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC＝2∠C．

已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC＝2∠C．
　　①求证：AB＝AC；
　　②若tan∠ABE＝1/2，（ⅰ）求AB/BC

的值；（ⅱ）求当AC＝2时，AE的长．

Answer 1

①连接OA，OB，OC
∵EB与⊙O相切于B
∴根据切线角定理以及圆周角和圆心角关系，∠EBC=1/2∠BOC
∵∠C=1/2∠BOA
∴1/2∠BOC=∠EBC＝2∠C=2*1/2*∠BOA=∠BOA
∴∠BOA=∠AOC
∴弧BA=弧AC
∴AB=AC

②首先要应用弦长公式，推导方法很多，比如：
在△OBC中，根据余弦定理，BC^2=r^2+r^2-2r*r*cos∠BOC
BC=r*√[2(1-cos∠BOC)]
再根据半角公式，BC=2r*sin(∠BOC/2)
∴AB/BC=[2r*sin(∠BOA/2)]/[2r*sin(∠BOC/2)]
∵1/2∠BOC=∠BOA，∠BOA=2∠C
∴AB/BC=sin(∠C)/sin(2∠C)
再根据倍角公式，AB/BC=1/(2cos∠C)
∵EB与⊙O相切于B
∴∠ABE=∠C
∴tan∠C=tan∠ABE＝1/2
∴cos∠C=2/√5
∴AB/BC=√5/4

Answer 2

①过点B作⊙O的切线，即∠EBA是弦切角=同弧（弧AB）所对的圆周角∠C

又因为∠EBC＝2∠C，即∠EBA+∠ABC=2∠C，也就是∠C+∠ABC=2∠C，
所以∠ABC=∠C，即△ABC是等腰三角形，故两条腰AB=AC.
②若tan∠ABE＝1/2，BC是圆的直径，故∠BAE=90°，在Rt△BAE中有

tan∠ABE＝AE/AB=1/2，由①∠ABE=∠C，所以tan∠C=AB/AC=1/2

故AB/BC=sinC=1/√5=√5/5.
（ⅱ）由①、②知道△BAE∽△BAC，故AE/AB=AC/AB,即AE=AC=2.

Answer 3

解此题利用切线的性质，等腰三角形的判定与性质，弦、圆心角及弧之间的关系，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，因为时间的问题，明天给你写过程。