Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，角EBC=2角C。求证（1）AB=AC

(2)
（2）若角ABE的正切值=1/2，求AB/BC的值，求当AC=2时，AE的长

Answer 1

1)

∵BE是切线    ∴∠EBA=∠C

    又∵∠EBC=2∠C

  ∴∠ABC=∠C      ∴AB=AC 

2)①作AF⊥BC于F，∵AB=AC   ∴BF=CF，AF延长线过圆心O

∵∠EBA=∠C   ∴tan∠ABE=tan∠C=AF/CF=1/2   

AC/CF=√（AF²+CF²）/CF=（√5）/2

又∵AB=AC，BF=CF   ∴AB/BC=AC/2CF=½(AC/CF)=(√5)/4

②∵∠ABE=∠C，∠E=∠E   ∴△ABE∽△BCE

 ∴ AE/BE=AB/BC=(√5)/4   所以BE=4/5√5AE 

又∵AE/BE=BE/CE  即BE²=AE×CE  即 （4/5√5AE）²=AE×（2+AE）

      解之得AE=10/11

（P.S：附加图一张，图来自参考资料，参考资料的已知、求证与本题相反且②有所不同，2）为纯手打原创）