Question

已知函数f（x）=ax 2 -e x （a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求

已知函数f（x）=ax 2 -e x （a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）有两个极值点x 1 ，x 2 ，求实数a的取值范围；（3）若当x≥0时，不等式f（x）≤-x-1恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

心理年龄（Ⅰ）由题意得，当a=1时，f（x）=x 2 -e x ， ∴f′（x）=2x-e x ，则切线的斜率为f′（0）=-1， ∵f（0）=-e 0 =-1， ∴所求的切线方程为：x+y+1=0； （Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax-e x ， 由题意得，x 1 ，x 2 是方程g（x）=0（即2ax-e x =0）的两个实根， 则g′（x）=2a-e x ， 当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在定义域上递减，即方程g（x）=0不可能有两个实根， 当a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a， 当x∈（-∞，ln2a）时，g′（x）＞0，则g（x）在（-∞，ln2a）上递增， 当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（-∞，ln2a）上递减， ∴g max （x）=g（ln2a）=2aln2a-2a， ∵方程g（x）=0（即2ax-e x =0）有两个实根， ∴2aln2a-2a＞0，解得2a＞e即 a＞ e 2 ， （Ⅲ）设h（x）=e x -ax 2 -x-1，则由题意得h（x）=e x -ax 2 -x-1≥0在[0，+∞）恒成立， 则h′（x）=e x -2ax-1， 当a=0时，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增， ∴h（x）≥h（0）=0，即e x ≥1+x，当且仅当x=0时，等号成立， ∴h′（x）=e x -2ax-1≥1+x-2ax-1=x（1-2a）， 当1-2a≥0时，即a≤ 1 2 ，此时h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增， ∴h（x）≥h（0）=e 0 -0-1=0，即h（x）≥0， 因而a≤ 1 2 时，h（x）≥0， 下面证明a＞ 1 2 时的情况： 由e x ≥1+x得，e -x ≥1-x，即x≥1-e -x ， ∴h′（x）=e x -1-2ax≤e x -1-2a（1-e -x ）=e -x （e x -1）（e x -2a） 当e x ＜2a时，即0＜x＜ln2a，则当x∈（0，ln2a）时，h′（x）＜0，从而h（x）＜0， 因此，对于x≥0，f（x）≤-x-1不恒成立， 综上所得，a的最大值为 1 2 ．