已知：如图所示，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO平分
已知：如图所示，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC；（3）AE＝EC．...
已知：如图所示，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC；（3）AE＝EC．
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解答：
证明：（1）OG⊥CD于G，过O作OF⊥AB于F，
∵AB=CD，
∴由垂径定理得：AF=
AB，CG=
CD，
∴AF=CG，
∵OA=OC，
由勾股定理得：OF=OG，
∵OF⊥AB于F，OG⊥CD，
∴PO平分∠BPD．（1分）
（2）∵PO平分∠BPD，
∴∠1=∠2．
∵OF⊥PB，OG⊥PD，
∴∠3=∠4．
∴PF=PG．（1分）
∵AB=CD，
∴AF＝
，CG＝
．（1分）
∴AF=CG．（1分）
∴PA=PC．（1分）
（3）∵AB=CD，
∴
＝
．（1分）
∵OF⊥PB，OG⊥PD，
∴
＝
，
＝
．
∴
＝
．（1分）
∵∠3=∠4，
∴
＝
．（1分）
∴
＝
．（1分）
证明：（1）OG⊥CD于G，过O作OF⊥AB于F，∵AB=CD，
∴由垂径定理得：AF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AF=CG，
∵OA=OC，
由勾股定理得：OF=OG，
∵OF⊥AB于F，OG⊥CD，
∴PO平分∠BPD．（1分）
（2）∵PO平分∠BPD，
∴∠1=∠2．
∵OF⊥PB，OG⊥PD，
∴∠3=∠4．
∴PF=PG．（1分）
∵AB=CD，
∴AF＝
| AB |
| 2 |
| CD |
| 2 |
∴AF=CG．（1分）
∴PA=PC．（1分）
（3）∵AB=CD，
∴
 |
| AB |
|
| CD |
∵OF⊥PB，OG⊥PD，
∴
|
| AM |
| 1 |
| 2 |
|
| AB |
|
| CN |
| 1 |
| 2 |
|
| CD |
∴
|
| AM |
|
| CN |
∵∠3=∠4，
∴
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| ME |
|
| NE |
∴
|
| AE |
|
| CE |
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