如图，已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为D．M是OB上一动点（不运动到
如图，已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为D．M是OB上一动点（不运动到O点、B点），过M点作半圆的切线交直线x=4于N，交AB...
如图，已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为D．M是OB上一动点（不运动到O点、B点），过M点作半圆的切线交直线x=4于N，交AB于F，切点为P．连接DN交AB于E，连接DM．（1）证明：∠OMD=∠ADN；（2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时，求直线MN的解析式．
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解：（1）证明：连接ON．∵直线y=x+4与x轴、y轴相交于A、B两点，
∴OA=OB=4，
又∵直线x=4经过点（4，0）且垂直于x轴，
即直线AN经过A点，且垂直于OA，
∴AN为半圆D的切线，
∴AN∥OB，
∴∠OMN+∠3=180°，
又∵OM、MN、NA均为半圆D的切线，
∴∠1=∠2=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴∠2+∠MND=90°，则∠MDN=90°，
∴∠4+∠MD0=90°，而∠1+∠MD0=90°，
∴∠1=∠4即∠0MD=∠ADN；
（2）解：由△DMO∽△NDA可得，
| OD |
| ON |
| OM |
| DA |
| 2 |
| y |
| x |
| 2 |
∴y与x的函数解析式为y=
| 4 |
| x |
（3）解：当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时，则有：
①若∠3=∠AED，
在Rt△DNA中∠4+
| 1 |
| 2 |
在△AEDK，∠4+∠AED=135°②
由②-①可得，∠AED=∠3=90°，
∴MN平行于是x轴，此时y=x=2，
∴直线NM的解析式为y=2；
②若∠3=∠4，
在Rt△DNA中∠4+
| 1 |
| 2 |
∴∠3=∠4=60°在Rt△DNA中，y=AN=AD?tan60°=2
| 3 |
将y值代入解析式得x=
2
| ||
| 3 |
∴M点坐标为（0，
2
| ||
| 3 |
| 3 |
由M、N两点的坐标求得直线MN的解析式为y=
|
