Question

如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴 、y轴上，当点

如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴 、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动．（1）当A在原点时，求点B的坐标；（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；（3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．

Answer 1

（1）当点A在原点时，如图1，AC在y轴上，BC⊥y轴， 所以点B的坐标是（2，2）．        （2）当OA=OC时，如图2， △OAC是等腰直角三角形，AC=2， 所以∠OAC=∠OCA=45°， OA=OC= 2 ， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2， ∴AB= AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 =2 2 ，∠CAB=45°， ∴∠OAB=∠CAB+∠OAC=45°+45°=90°， ∴ OB= (2 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = 10 ． （3）如图3， 取AC的中点E，连接OE，BE． 在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线， 所以 OE= 1 2 AC=1 ， 在△ACB中，BC=2， CE= 1 2 AC=1 ， 所以 BE= 5 ； 若点O，E，B不在一条直线上，则 OB＜OE+BE=1+ 5 ． 若点O，E，B在一条直线上，则 OB=OE+BE=1+ 5 ， 所以当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为 1+ 5 ．