Question

已知点P（1，m）在抛物线C：y2=2Px（P＞0）上，F为焦点，且|PF|=3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点T

已知点P（1，m）在抛物线C：y2=2Px（P＞0）上，F为焦点，且|PF|=3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点T（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．（ⅰ）求OA?OB的值；（ⅱ）若以A为圆心，|AT|为半径的圆与y轴交于M，N两点，求△MNF的面积．

Answer 1

满分（12分）．
解：（I）抛物线C：y²=2px（p＞0），
∴焦点F（

p

2

，0）．…（1分）
由抛物线定义得：|PF|=1+

p

2

=3，
解得p=4，
∴抛物线C的方程为y²=8x．…（3分）
（II）（i）依题意可设过点T（4，0）的直线l的方程为x=ty+4，…（4分）
由

y2＝8x x＝ty+4

，得y²-8ty-32=0，…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=8t，y₁y₂=-32，…（6分）
∴x1?x2＝

1

8

y12?

1

8

y22＝16，…（7分）
∴

OA

?

OB

=x1 x2+y1 y2=16-32=-16．…（8分）
（ii）设A（x₁，y₁），M（0，y_M），N（0，y_N），则y12＝8x1，①
以A为圆心，|AT|为半径的圆的方程为(x?x1)2+(y?y1)2＝(4?x1)2+y12，…（9分）
令x=0，则x1