（2004?宿迁）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O
（2004?宿迁）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．（Ⅰ）求证：RP=RQ；...
（2004?宿迁）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．（Ⅰ）求证：RP=RQ；（Ⅱ）若OP=PA=1，试求PQ的长．
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（Ⅰ）证法一：
连接OQ；
∵RQ是⊙O的切线，
∴∠OQB+∠BQR=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠OPB+∠B=90°．
又∵OB=OQ，
∴∠OQB=∠B．
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ．
∴RP=RQ．
证法二：
作直径BC，连接CQ；∵BC是⊙O的直径，
∴∠B+∠C=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠B+∠BPO=90°．
∴∠C=∠BPO．
又∠BPO=∠RPQ，
∴∠C=∠RPQ．
又∵RQ为⊙O的切线，
∴∠PQR=∠C．
∴∠PQR=∠RPQ．
∴RP=RQ．
（Ⅱ）解法一：
作直径AC，
∵OP=PA=1，
∴PC=3．
由勾股定理，得BP=
=
由相交弦定理，得PQ?PB=PA?PC．
即PQ×
=1×3，
∴PQ=
．
解法二：
作直径AE，过R作RF⊥BQ，垂足为F，
设RQ=RP=x；
由切割线定理，得：x2=（x-1），（x+3）
解得：x=
，
又由△BPO∽△RPF得：
＝
，
∴PF=
×1＝
连接OQ；
∵RQ是⊙O的切线，
∴∠OQB+∠BQR=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠OPB+∠B=90°．
又∵OB=OQ，
∴∠OQB=∠B．
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ．
∴RP=RQ．
证法二：
作直径BC，连接CQ；∵BC是⊙O的直径，
∴∠B+∠C=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠B+∠BPO=90°．
∴∠C=∠BPO．
又∠BPO=∠RPQ，
∴∠C=∠RPQ．
又∵RQ为⊙O的切线，
∴∠PQR=∠C．
∴∠PQR=∠RPQ．
∴RP=RQ．
（Ⅱ）解法一：
作直径AC，
∵OP=PA=1，
∴PC=3．
由勾股定理，得BP=
| 12+22 |
| 5 |
由相交弦定理，得PQ?PB=PA?PC．
即PQ×
| 5 |
∴PQ=
3
| ||
| 5 |
解法二：
作直径AE，过R作RF⊥BQ，垂足为F，
设RQ=RP=x；
由切割线定理，得：x2=（x-1），（x+3）
解得：x=
| 3 |
| 2 |
又由△BPO∽△RPF得：
| PF |
| OP |
| PR |
| BP |
∴PF=
| ||
|
3
|
